Crecimiento y decrecimiento de una función:
Una función es creciente en un intervalo si para x1 < x2 , f (x1) f (x2).
Una función es creciente en un intervalo si para x1 < x2 , f (x1) f (x2).
La aplicación de la Derivada nos va a permitir con mayor facilidad determinar el crecimiento o decrecimiento de un intervalo de una función , pues, la derivada es sinónimo de pendiente o inclinación, así:
Una derivada positiva implica que la pendiente de la gráfica asciende, una derivada negativa implica una pendiente en descenso y una derivada nula implica que la función es constante en un intervalo ( sentido horizontal).
Para definir los intervalos de crecimiento o decrecimiento es necesario definir los puntos donde la derivada es cero o no está definida, en estos puntos se pueden producir cambios de sentido de la gráfica , los identificaremos como puntos críticos que pueden ser máximos, mínimos o de inflexión.
Máximos y mínimos de una función.
El valor de una función es máximo si es mayor que el valor que le antecede y mayor que el valor que le sigue, es mínimo si el valor que le antecede y que le sigue es mayor.
El máximo y mínimo absolutos de una función analizada en un intervalo, incluyendo sus puntos extremos es el valor representativo de todos los máximos ó mínimos que existan en dicho intervalo.
Si el valor máximo está comprendido entre un intervalo creciente y un decreciente de la función, y el mínimo está ubicado entre un intervalo decreciente y un creciente de la función, como lo muestra la figura, se puede acudir a la primera derivada para determinar dichos puntos.
Independientemente de los extremos del intervalo [A, B] , los puntos máximos o mínimos están ubicados en aquellos puntos donde f ‘(x) = 0 o no está definida, es decir, donde la pendiente es horizontal, concluyéndose que:
f(x) es máximo si f ‘ (x) = 0 o nó esta definida y f ‘ (x) cambia su signo de + a --.
f(x) es mínima si f ‘ (x) = 0 o nó esta definida y f ‘ (x) cambia su signo de -- a +.
Los puntos donde se ubican los puntos máximos y mínimos se denominan PUNTOS CRÍTICOS. ç
Definición de máximos y mínimos.
Aplicando la primera derivada.-
1. Calculamos la primera derivada. 2. Igualamos a cero la primera derivada y encontramos las raíces reales o soluciones. 3. Ubicamos los puntos críticos. 4. Definimos el signo de la primera derivada para valores ligeramente menores y mayores al punto crítico y concluimos si es máximo o mínimo.
NOTA: Según lo sugiere GranVille, “se debe incluir también como valores críticos los valores de x para los cuales f ‘ (x) se vuelve infinita, o lo que es lo mismo, los valores de x que satisfacen la ecuación 1/f ‘(x) = 0”.
Aplicando la segunda derivada.
1.- Calculamos la segunda derivada. 2.- Definimos los puntos críticos ( f ‘(x) = 0 ) 3.- En la segunda derivada reemplazamos los valores obtenidos de los puntos críticos y aplicamos el siguiente análisis:
f ‘‘ (Pc) < 0 es máximo f ‘‘ (Pc) > 0 es mínimo f ‘‘ (Pc) = 0 el método no es aplicable.
Puntos de inflexión:
Son puntos que separan arcos que tienen sus concavidades en sentidos opuestos.
Para definir los puntos de inflexión basta con igualar a cero la segunda derivada y calcular las raíces reales.
Dirección de la concavidad.
Se dice que la gráfica de una función derivable Y = f(x) es cóncava hacia abajo en el intervalo (a,b), si el arco de la curva está situado debajo de la tangente trazada en cualquier punto del intervalo (a,b), caso contrario será cóncava hacia arriba.
Definición de puntos de inflexión y a concavidades:
1. Calculamos F"(x)
2. Igualamos a cero la segunda derivada y definimos puntos de inflexión
3. Identificamos la concavidad del arco dando valores cercanos al punto de inflexión
4. Comprobamos si el punto definido es un punto de inflexión recordando que: Si F"(x) cambia de signo (cambia el sentido de la concavidad), tenemos un punto de inflexión.
5. Para determinar la dirección de la concavidad , se aplica el siguiente criterio:
Si F" (x) > 0 → La curva es cóncava hacia arriba
Si F" (x) < 0 → La curva es cóncava hacia abajo
Asíntotas.-
Son rectas que permiten graficar con mayor facilidad una función, con la particularidad de que ningún punto de la función cruza por dicha recta o asíntota.
Asíntota Oblicua.-
Se puede calcular de dos formas:
1. Siendo la función y = N(x)/D(x) y el grado del numerador es mayor en un grado al
denominador, ó igual que el del denominador, se puede realizar la división correspondiente y expresar el quebrado como el algoritmo de la división.
2. Cuando la función no presenta la característica del numeral 1, recordando que la ecuación de la recta es y = ax + b, se puede calcular los coeficientes a, b, en base a la resolución de los siguientes límites
Asíntota horizontal.
Se la define una vez calculados los coeficientes a, b, si el coeficiente a es igual a cero entonces la asíntota horizontal será: y = b
Asíntota vertical.
La asíntota vertical, ha de entenderse que cuando x tiende a un valor c la función tiende al infinito, se produce siempre y cuando la función tenga en el denominador la variable x, por lo tanto la asíntota vertical se podrá calcular igualando a cero el denominador y despejando la variable.
Puntos de cruce con el eje x.
Para definir los puntos de cruce, será suficiente igualar la función a cero y definir las raices ó soluciones.
Procedimiento para graficar funciones utilizando los puntos característicos:
1. Calcular la primera y segunda derivadas
2. Definir los puntos críticos igualando a cero la primera y segunda derivadas
3. Elaborar un cuadro que contenga los intervalos creados y permita definir los puntos máximos, mínimos, inflexión, intervalos decrecimiento, decrecimiento y concavidades
4. Definir las asíntotas
5. En forma opcional definir los puntos de cruce con el eje x (siendo y = f(x)
6. Graficar la función.
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