Calculo Diferencial Integral

Método de sustitución.  
Cuando  no se puede aplicar directamente la fórmula de integración se debe sustituir al ejercicio planteado por otras variables que permitan encontrar su solución.

Sustituciones trigonométricas  
Es aplicable esta sustitución cuando la integral contiene el radical de la forma indicada, sugiriendo el reemplazo correspondiente:  
Integración por partes
Si consideramos que la integral original a resolver es u * dv su resultado vendrá dado por la siguiente igualdad.
Donde u*dv es la integral planteada y las expresiones u, v y du son valores a determinarse de acuerdo a la facilidad de resolución que presenten.

Al no existir una regla establecida para la determinación de las expresiones u,v, es recomendable asumir que dv es la expresión de la integral en la cual es factible aplicar la integración directa.
  
En algunos casos para llegar a la respuesta será necesario aplicar varias veces la integración por partes  

Integrales de la forma AX2 + BX + C  
Para resolver la integral que presente la forma indicada y siempre y cuando no se pueda aplicar fórmulas de integración es conveniente transformar el trinomio de tal forma que podamos expresarlo como:  v2 +- a2  ó   a2  +- v2

Aplicación de la teoría de las fracciones racionales 
función racional entera. Es aquella cuya variable no está afectada por exponentes negativos o fraccionarios.

Si una integral es una fracción racional es decir, tanto el numerador como el denominador son funciones racionales y el grado del numerador es mayor o igual al grado del denominador, la fracción puede reducirse realizando la división, es decir:

Pero, en caso de que la fracción R/D de posibilite la integración directa o la integración aplicando los métodos hasta el momento conocidos, es posible descomponer la expresión en fracciones parciales aplicando el método de los coeficientes indeterminados.

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INTEGRACIÓN.  

Muchas de las aplicaciones de cálculo están relacionadas con el problema inverso así: La inversa de la multiplicación es la división, la inversa de la potencia la radicación, etc. Integrar una función es buscar una función original o función primitiva a partir de una derivada propuesta. La integración es la inversa de la derivación.
Para identificar la integración, se utiliza el signo de la suma “deformado”, este signo fue la primera representación de la suma.  

El cálculo integral podríamos expresarlo como: "Dado el diferencial de una función hallar su función original"
La función que se obtiene se denomina Integral de la expresión diferencial dada.
El procedimiento para hallar dicha integral se denomina Integración.  

FORMULAS DE INTEGRACIÓN  

Previo a la definición de reglas o fórmulas de integración se debe recordar que la constante puede escribirse delante del signo de integración así también, la integral de una suma algebraica es igual a la misma suma algebraica de sus términos.  

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Teorema de Rolle.
Se refiere al hecho de que si una función  continua,  en el intervalo A,B se anula en sus extremos, y en dicho intervalo existe en cada punto una derivada, existe por lo menos un punto  en donde dicha derivada es cero.
Teorema de Lagrange:
Se refiere al hecho de que si la gráfica de una función continua tiene una tangente inclinada en un punto C del intervalo A,B , entonces por lo menos hay un punto C cuya tangente es paralela a la secante A,B.

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Como una aplicación práctica de la teoría de máximos y mínimos, se sugiere para la solución dibujar el esquema del problema, escribir la fórmula que se va a maximizar o minimizar y aplicar los criterios conocidos para definir los puntos máximos y mínimos.

Ejemplo 49
Se desea construir un cerramiento alrededor de dos terrenos adyacentes rectangulares cuya área total es de 600 metros cuadrados, calcular las dimensiones de los terrenos para las cuales la longitud de cerramiento sea mínima.

Area =  600
600  = 2xy    →   y = 300/x
Area = 2xy
Longitud = L
L = 4x + 3y
L = 4x + 3*300/x = 4x + 900/x
L’ = 4 – 900/x^2
L’ = 0
4x^2 – 900 = 0
x =  15 mt
y =  20 mt

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Para definir los intervalos de crecimiento o decrecimiento es necesario definir los puntos donde la derivada es cero o no está definida, en estos puntos se pueden producir cambios de sentido de la gráfica , los identificaremos como puntos críticos que pueden ser máximos, mínimos o de inflexión.

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Aplicaciones de derivación:
Su aplicación es tan diversa como diversos son los campos de la ciencia, así, es aplicable a la Física, Economía, Biología, entre otras, a continuación centraremos nuestro estudio en aplicaciones a:
▼ Construcción de gráficas de funciones con sus puntos característicos y aplicaciones geométricas de la derivada
▼ Problemas de optimización
▼ Velocidad y aceleración
▼ Teorema del valor medio
▼ Teorema de Lagrange
▼ Teorema de Gauchy
▼ Aplicación de derivación al cálculo de límites (Regla de L’hopital)

Construcción de gráficas de funciones con sus puntos característicos
La gráfica de una función en su recorrido presenta puntos característicos que permiten una exacta definición de su comportamiento, al dividirla en secciones o intervalos, presentándose puntos característicos como:  
 Crecimiento y decrecimiento de la función en un intervalo   Puntos Máximos (absolutos o relativos)  (MAX)  Puntos mínimos (absolutos o relativos)  (MIN)  Puntos de inflexión  (PI)  Concavidad hacia arriba o hacia debajo de un intervalo de la función  Asíntotas  Puntos de cruce con el eje x (X)

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Derivadas de funciones no explícitas.
Derivación de funciones inversas.-
En la resolución de derivadas algunos ejercicios se presentarán de la forma X = f (y), considerando a y como variable independiente, en este caso f (x), f (y) son funciones inversas y  x’ (derivada de x) podrá calcularse de la siguiente forma:


Derivada de funciones implícitas.-
Si la dependencia entre x,  y, viene dada por la función f(x, y) = 0, es decir en forma implícita, la derivada con respecto a x  puede calcularse en la forma convencional y luego despejar y’:
Ejemplo 42:  Derivar la siguiente función con respecto a la variable x.

Derivadas logarítmicas.-

Es la simple aplicación de los conceptos logarítmicos para facilitar la derivación, tomando en cuenta que en algunos casos será necesario recordar la relación entre logaritmos vulgares y logaritmos naturales, relación que viene expresada por:



Derivadas de funciones paramétricas.-  
Una función paramétrica  se la identifica cuando las variables x, y dependen de otro parámetro (t).
Para su derivación, se debe recordar el siguiente análisis:



Derivadas sucesivas (o de orden superior).-
Las derivadas de orden superior son los que se obtienen derivando una función varias veces.

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Derivada de una función dependiente de una variable.-
“ Derivada de una función es el límite de la razón ▲ y / ▲ x cuando ▲ x  tiende a cero “.

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Cuando el límite de esta función no existe se dice que la función no es derivable
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Una vez aprendido el concepto de derivada, para resolver derivadas de cierta complejidad es conveniente ayudarnos de reglas pre-establecidas deducidas del análisis  indicado, aplicando similar criterio de conformidad a cada caso, como en la siguiente explicación:
Deduzcamos una fórmula para derivar  y = x

y + ▲y = x + ▲x
▲y = x + ▲x - y
▲y = x + ▲x - x
▲y/▲x = 1

Por lo tanto la derivada de x es igual a 1: d/dx(x) = 1

Principales reglas de derivación:

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Variación
Introducción. Vamos a analizar el valor de una f(x) al variar. El problema fundamental del cálculo diferencial es el establecer con toda precisión una medida de esta variación. La investigación de problemas de este tipo llevó a Newton al descubrimiento de los principios fundamentales del Cálculo Infinitesimal, constituyéndose este en el instrumento científico más poderoso del matemático moderno. El incremento ▲ i de una variable que pasa de un valor numérico a otro es la diferencia que se obtiene restando el valor inicial del valor final. El incremento de la variable x  se la representa con el signo ▲ x  que se lee delta x, el incremento ▲ y si en y = f (x) la variable independiente x toma un  incremento  ▲y, entonces ▲y iniciará el incremento correspondiente de la función f (x).

Comparación de incrementos
Considerando la función y = x2 , si a la variable x le incrementamos valores pequeños ▲
x,
se concluye que la función f (x) se altera en un incremento ▲
y, por lo tanto si vamos a dar
valores a ▲
x, es factible calcular ▲
y de acuerdo al siguiente análisis:
Si :  y = x2   calcular ▲
y al incrementar ▲
x en la función planteada
   y + ▲ y = ( x + ▲ x )2              ▲ y =  2x ▲ x + ▲ x2   Si   y = x2 +4x – 2,   calcular ▲ y al incrementar ▲ x en la función planteada
y + ▲ y = (x+ ▲ x)2 + 4(x+ ▲ x) - 2 y + ▲ y = x2 + 2x ▲ x + ▲ x2 + 4x +4 ▲ x -2 ▲ y = 2x ▲ x + ▲ x2 + 4  x ▲

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Indeterminaciones:   Cuando no es factible realizar una operación convencional, se dice que existe una indeterminación, produciéndose los siguientes casos:

Formas de levantar la indeterminación:

Se sugieren las siguientes formas de levantar una indeterminación
a) Técnicas de cancelación (Factoreo previo a la simplificación)
b) Racionalización
c) Cuando x --> 0
0 y no es posible factorar, SE RECOMIENDA DIVIDIR CADA TERMINO DE LA FUNCIÓN PARA EL TERMINO DE MENOR EXPONENTE.
d) Cuando x --> infinito,  y no es posible factorar, SE RECOMIENDA DIVIDIR CADA TERMINO DE LA FUNCION PÁRA EL TERMINO DE MAYOR EXPONENTE

 Continuidad y discontinuidad de una función. Una función f(x) es continua si cumple las siguientes condiciones:
 
Una función f(x) es discontinua en el punto xo, quer pertenece al campo de existencia de dicha función o que es punto frontera de dicho campo, si en este punto no se verifica la condición de continuidad de la función, tal es el caso de la función 1/(x-1) que no está definida en x=1.

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Límites y continuidad
Límites:  Cuando se habla de la velocidad límite, el límite de la resistencia, el estirar un resorte hasta su límite, nos lleva a pensar que el límite es una medida que a veces puede no ser alcanzable y otras puede ser superable.

Analizaremos la siguiente función: y = 2x + 3     ó  f(x) = 2x + 3

Si establecemos una tabla para conocer el comportamiento de f(x) cuando x tiende a cero (xo =0 valor escogido al azar para fines explicativos) se observa que para valores de x, tanto mayores y menores que cero el valor f(x) se aproxima a 3, por tanto decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a cero (0) es igual a 3, para el efecto hemos utilizado valores  menores y mayores al valor xo  escogido para el análisis.


Teoremas sobre límites.-  
En el cálculo de límites se aplicarán los siguientes teoremas, donde u, v, w, son funciones de una variable x y c es una constante:
a) Límite de un polinomio.  
    Si f(x) es un polinomio, su límite se calcula por sustitución directa. ) ()( c fxflim cx        b) Límite de una constante. Siendo f(x) = K, k xflim cx   )(
 c)  Limite de una suma algebraica      El límite de la suma algebraica de funciones es igual a la suma de sus límites   lim (u+v+w) = lim u  + lim v  + lim w   d)  Límite del producto de funciones       El límite del producto de funciones es igual al producto de sus límites lim (u*v*w) = lim u * lim v * lim w
e)  Limite de una constante por una función
      lim (c*v) =  c * lim v,   lim (v+c) =  lim v + c
f)  Límite del cociente de dos funciones
g)  Límite de la Potencia
El límite de la función elevada a un exponente   n es igual al límite de la función “todo” elevado a la 'n'.

 Límites infinitos y límites al infinito .-
Si el valor numérico de una variable u  cuando x tiende a cero (0)  permanece mayor que cualquier número positivo signado de antemano, por grande que sea decimos que u se vuelve infinita.
Si u toma solo valores positivos, se hace infinita positivamente y si solo toma valores negativos, se hace infinita negativamente

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