domingo, 30 de julio de 2017

TÉCNICAS, MÉTODOS O ARTIFICIOS DE INTEGRACIÓN

Método de sustitución.  
Cuando  no se puede aplicar directamente la fórmula de integración se debe sustituir al ejercicio planteado por otras variables que permitan encontrar su solución.

Sustituciones trigonométricas  
Es aplicable esta sustitución cuando la integral contiene el radical de la forma indicada, sugiriendo el reemplazo correspondiente:  
Integración por partes
Si consideramos que la integral original a resolver es u * dv su resultado vendrá dado por la siguiente igualdad.
Donde u*dv es la integral planteada y las expresiones u, v y du son valores a determinarse de acuerdo a la facilidad de resolución que presenten.

Al no existir una regla establecida para la determinación de las expresiones u,v, es recomendable asumir que dv es la expresión de la integral en la cual es factible aplicar la integración directa.
  
En algunos casos para llegar a la respuesta será necesario aplicar varias veces la integración por partes  

 Integrales de la forma AX2 + BX + C  
Para resolver la integral que presente la forma indicada y siempre y cuando no se pueda aplicar fórmulas de integración es conveniente transformar el trinomio de tal forma que podamos expresarlo como:  v2 +- a2  ó   a2  +- v2

Aplicación de la teoría de las fracciones racionales 
función racional entera. Es aquella cuya variable no está afectada por exponentes negativos o fraccionarios.

Si una integral es una fracción racional es decir, tanto el numerador como el denominador son funciones racionales y el grado del numerador es mayor o igual al grado del denominador, la fracción puede reducirse realizando la división, es decir:
Pero, en caso de que la fracción R/D de posibilite la integración directa o la integración aplicando los métodos hasta el momento conocidos, es posible descomponer la expresión en fracciones parciales aplicando el método de los coeficientes indeterminados.



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Calculo integral

INTEGRACIÓN.  

Muchas de las aplicaciones de cálculo están relacionadas con el problema inverso así: La inversa de la multiplicación es la división, la inversa de la potencia la radicación, etc. Integrar una función es buscar una función original o función primitiva a partir de una derivada propuesta. La integración es la inversa de la derivación.
Para identificar la integración, se utiliza el signo de la suma “deformado”, este signo fue la primera representación de la suma.  

El cálculo integral podríamos expresarlo como: "Dado el diferencial de una función hallar su función original"
La función que se obtiene se denomina Integral de la expresión diferencial dada.
El procedimiento para hallar dicha integral se denomina Integración.  

FORMULAS DE INTEGRACIÓN  

Previo a la definición de reglas o fórmulas de integración se debe recordar que la constante puede escribirse delante del signo de integración así también, la integral de una suma algebraica es igual a la misma suma algebraica de sus términos.  












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Teoremas del Valor medio

Teorema de Rolle.
Se refiere al hecho de que si una función  continua,  en el intervalo A,B se anula en sus extremos, y en dicho intervalo existe en cada punto una derivada, existe por lo menos un punto  en donde dicha derivada es cero.
Teorema de Lagrange:
Se refiere al hecho de que si la gráfica de una función continua tiene una tangente inclinada en un punto C del intervalo A,B , entonces por lo menos hay un punto C cuya tangente es paralela a la secante A,B.


Teorema de Cauchy. 
Se refiere al hecho de que si dos funciones f(x), g(x) son continuas en todo el intervalo (A,B) y la derivada de la  función g(x) no se anula dentro del intervalo, para algún valor del intervalo se cumple: 


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Aplicaciones de la derivada a problemas de optimización

Como una aplicación práctica de la teoría de máximos y mínimos, se sugiere para la solución dibujar el esquema del problema, escribir la fórmula que se va a maximizar o minimizar y aplicar los criterios conocidos para definir los puntos máximos y mínimos.

Ejemplo 49
Se desea construir un cerramiento alrededor de dos terrenos adyacentes rectangulares cuya área total es de 600 metros cuadrados, calcular las dimensiones de los terrenos para las cuales la longitud de cerramiento sea mínima.

Area =  600
600  = 2xy    →   y = 300/x
Area = 2xy
Longitud = L
L = 4x + 3y
L = 4x + 3*300/x = 4x + 900/x
L’ = 4 – 900/x^2
L’ = 0
4x^2 – 900 = 0
x =  15 mt
y =  20 mt
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Construcción de gráficos de funciones con sus puntos característicos

Crecimiento y  decrecimiento de una función:  
Una función es creciente en un intervalo si para x1 < x2 , f (x1)   f (x2).  
Una función es creciente en un intervalo si para x1 < x2 , f (x1)  f (x2).  
La aplicación de la  Derivada nos va a permitir con mayor facilidad determinar el crecimiento o decrecimiento de un intervalo de una función , pues, la derivada es sinónimo de pendiente o inclinación, así:  
Una derivada positiva implica que la pendiente de la gráfica asciende, una derivada negativa implica una pendiente en descenso y una derivada nula implica que la función es constante en un intervalo ( sentido horizontal). 

Para definir los intervalos de crecimiento o decrecimiento es necesario definir los puntos donde la derivada es cero o no está definida, en estos puntos se pueden producir cambios de sentido de la gráfica , los identificaremos como puntos críticos que pueden ser máximos, mínimos o de inflexión.

Máximos y mínimos de una función.  
El valor de una función es máximo si es mayor que el valor que le antecede y mayor que el valor que le sigue, es mínimo si el valor que le antecede y que le sigue es mayor.  
El máximo y mínimo absolutos de una función analizada en un intervalo, incluyendo sus puntos extremos es el valor representativo de todos los máximos ó mínimos que existan en dicho intervalo.  
Si el valor máximo está comprendido entre un intervalo creciente y un decreciente de la función, y el mínimo está ubicado entre un intervalo decreciente y un creciente de la función, como lo muestra la figura, se puede acudir a la primera derivada para determinar dichos puntos.

Independientemente de los extremos del intervalo [A, B]  , los puntos máximos o mínimos están ubicados en aquellos puntos donde f ‘(x) = 0 o no está definida, es decir, donde la pendiente es horizontal, concluyéndose que:  
 f(x) es máximo si f ‘ (x) = 0 o nó esta definida y f ‘ (x) cambia su signo de + a --.  
 f(x) es mínima si f ‘ (x) = 0 o nó esta definida y f ‘ (x) cambia su signo de  -- a +.  
Los puntos donde se ubican los puntos máximos y mínimos se denominan PUNTOS CRÍTICOS.   ç


Definición de máximos y mínimos.  
Aplicando la primera derivada.-  
1. Calculamos la primera derivada. 2. Igualamos a cero la primera derivada y encontramos las raíces reales o soluciones. 3. Ubicamos los puntos críticos. 4. Definimos el signo de la primera derivada para valores ligeramente menores y mayores al punto crítico y concluimos si es máximo o mínimo.  
NOTA: Según lo sugiere GranVille, “se debe incluir  también como valores críticos los valores de x para los cuales f ‘ (x) se vuelve infinita, o lo que es lo mismo, los valores de x que satisfacen la ecuación 1/f ‘(x) = 0”. 

Aplicando la segunda derivada.  
1.- Calculamos la segunda derivada. 2.- Definimos los puntos críticos ( f ‘(x) = 0 ) 3.- En la segunda derivada reemplazamos los valores obtenidos de los puntos críticos y aplicamos el siguiente análisis:  
f ‘‘ (Pc) < 0 es máximo f ‘‘ (Pc) > 0 es mínimo    f ‘‘ (Pc) = 0 el método no es aplicable.   
Puntos de inflexión:  
Son puntos que separan arcos que tienen sus concavidades en sentidos opuestos. 


Para definir los puntos de inflexión basta con igualar a cero la segunda derivada y calcular las raíces reales.   

Dirección de la concavidad.  
Se dice que la gráfica de una función derivable Y = f(x)  es cóncava hacia abajo en el intervalo (a,b), si el arco de la curva está situado debajo de la tangente trazada en cualquier punto del intervalo (a,b), caso contrario será cóncava hacia arriba. 


Definición de puntos de inflexión y a concavidades:   
1. Calculamos F"(x) 
2. Igualamos a cero la segunda derivada y definimos puntos de inflexión  
3. Identificamos la concavidad del arco dando valores cercanos al punto de inflexión 
4. Comprobamos si el punto definido es un punto de inflexión recordando que: Si F"(x) cambia de signo (cambia el sentido de la concavidad), tenemos un punto de inflexión. 
5. Para determinar la dirección de la concavidad , se aplica el siguiente criterio:  
Si F" (x)  >  0 →   La curva es cóncava hacia arriba  
Si F" (x)  <  0 →   La curva es cóncava hacia abajo  

Asíntotas.-  
Son rectas que permiten graficar con mayor facilidad una función, con la particularidad de que ningún punto de la función cruza por dicha recta o asíntota.  

Asíntota Oblicua.-  
Se puede calcular de dos formas: 

1. Siendo la función y = N(x)/D(x)  y el grado del numerador es mayor en un grado al 
denominador, ó igual  que el del denominador, se puede realizar la división correspondiente y expresar el quebrado como el algoritmo de la división. 

2. Cuando la función no presenta la característica del numeral 1, recordando que la ecuación de la recta es  y = ax + b, se puede calcular los coeficientes a, b, en base a la resolución de los siguientes límites 

Asíntota horizontal.  
Se la define una vez calculados los coeficientes a, b, si el coeficiente a es igual a cero entonces la asíntota horizontal será: y = b 

Asíntota vertical.   
La asíntota vertical, ha de entenderse que cuando x tiende a un valor c la función tiende al infinito, se produce siempre y cuando la función tenga en el denominador la variable x, por lo tanto la asíntota vertical se podrá calcular igualando a cero el denominador y despejando la variable. 

Puntos de cruce con el eje x.  

Para definir los puntos de cruce, será suficiente igualar la función a cero y definir las raices ó soluciones.  
Procedimiento para graficar funciones utilizando los puntos característicos:  
1. Calcular la primera y segunda derivadas 
2. Definir los puntos críticos igualando a cero la primera y segunda derivadas 
3. Elaborar un cuadro que contenga los intervalos creados y permita definir los puntos máximos, mínimos,  inflexión, intervalos decrecimiento, decrecimiento y concavidades 
4. Definir las asíntotas 
5. En forma opcional definir los puntos de cruce con el eje x (siendo y = f(x) 
6. Graficar la función.  

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